Otra manera de obtener la sucesión de lados es mediante una ley de recurrencia. Para ello
te vamos a plantear previamente varias cuestiones, que si estás muy puesto
en semejanza te serán muy fáciles de contestar.
¿Como son los lados y los ángulos de dos triángulos semejantes?
Indica razonadamente la semejanza de los triángulos ACD y ADB con el ABC, siendo
el ángulo A=90º.
Justifica el 1er teorema de Euclides: Un cateto de un triángulo rectángulo es
media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de este cateto sobre la
hipotenusa (teorema del cateto).
¿Cómo son los triángulos ACD y ADB? ¿Por qué?
Justifica el 2º teorema de Euclides: La altura relativa a la hipotenusa de un
triángulo rectángulo es media proporcional entre las proyecciones de los
catetos sobre la hipotenusa (teorema de la altura).
Si observas en la figura el triángulo ABC y aplicas los teoremas anteriores, podrás
obtener una doble expresión de a2 en función de a1.¿Son las dos válidas? ¿Por qué?
¿Cuál será entonces la ley de recurrencia? ¿Cuál será el perímetro? ¿Qué valores obtienes de p? Utiliza tu calculadora o el ordenador para obtener
muchos más términos.
¿Tienes problemas? ¿Sabes a qué se deben?
Racionaliza la expresión de la ley de recurrencia del lado del polígono e intenta
hallar el término general de pn+1 en el que aparezca en función de pn y de an.
Calcula ahora muchos términos. ¿Tienes problemas? ¿Qué ocurre en la fórmula si an=0?
Recuerda las fórmulas trigonométricas:
¿Sabrías pasar de la fórmula del término general de la sucesión a la ley de recurrencia?
