DISTRIBUCIÓN NORMAL O GAUSSIANA

Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución.

Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana, como:

Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie como tallas, pesos, envergaduras, diámetros, perímetros, etc.

Caracteres fisiológicos, como el efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono.

Caracteres sociológicos, como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen.

Caracteres psicológicos, como el cociente intelectual, grado de adaptación a un medio, etc

Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.

Valores estadísticos muestrales, como la media.

Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales.

Y en general cualquier característica que se obtenga como suma de muchos factores.

La distribución normal queda definida por dos parámetros, su media y su desviación típica y se representa así .

La función tiene las siguientes propiedades:

Dominio: R

Máximo:

Puntos de inflexión: en y en

Asíntota: el eje OX es una asíntota horizontal

Simetría: respecto a la recta

Monotonía: creciente en y decreciente en

Signo: siempre positiva

TIPIFICACIÓN

Si la variable es X en entonces la variable tipificada es que sigue también una distribución normal N(0,1).

Por tanto su función de densidad es con y su función de distribución es , siendo la representación gráfica de esta función:

A la variable Z se la denomina variable tipificada de X, y a la curva de su función de densidad curva normal tipificada. Existen unas tablas de la curva normal tipificada que permite resolver cualquier distribución normal.

Característica de la distribución normal tipificada (reducida, estándar)

No depende de ningún parámetro

Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación típica es 1.

La curva f(x) es simétrica respecto del eje OY

Tiene un máximo en este eje

Tiene dos puntos de inflexión en z =1 y z = -1

Aproximación de la Binomial por la Normal

Se conoce como teorema de De Moivre.

Demostró que bajo determinadas condiciones (para n grande y tanto p como q no estén próximos a cero) la distribución Binomial B(n, p) se puede aproximar mediante una distribución normal .

Debemos tener en cuenta que cuanto mayor sea el valor de n, y cuanto más próximo sea p a 0.5, tanto mejor será la aproximación realizada. Es decir, basta con que se verifique .

Gracias a esta aproximación es fácil hallar probabilidades binomiales, que para valores grandes de n resulten muy laboriosos de calcular.

Hay que tener en cuenta que para realizar correctamente esta transformación de una variable discreta (binomial) en una variable continua (normal) es necesario hacer una corrección de continuidad, llamada de Yates:

Es decir, se sustituye el valor discreto “a” de la binomial por un intervalo continuo.