EFECTO MARIPOSA

Cuenta Ian Stewart en su libro ¿Juega Dios a los dados?, que en el invierno de 1961 el meteorólogo Edward Lorenz, con el objeto de predecir el tiempo, estaba iterando un complejo sistema dinámico con su ordenador para ver cómo se comportaba en un período de tiempo más grande. En vez de esperar durante varias horas, paró su ordenador y anotó los valores de la órbita en un instante intermedio de lo que ya había realizado, con la intención de volver a ponerlo a funcionar cuando fuera a tomar una taza de té.

Un tiempo después puso de nuevo a funcionar su ordenador, para seguir calculando la órbita, con los datos iniciales que había toma do en aquel instante intermedio. Lo que él esperaba que ocurriese es lo siguiente: la máquina repetiría la segunda mitad de la ejecución original, y luego seguiría a partir de allí. La repetición servía como una comprobación útil, pero ahorrándose la primera mitad.

Cuando Lorenz regresó de tomar su taza de té, encontró que la nueva ejecución no había repetido la segunda mitad de la original. Empezaba de la misma manera pero lentamente las dos ejecuciones divergían, hasta que al final no guardaban ningún parecido la una a la otra.

James Gleik, un escritor científico que se entrevistó con Lorenz, cuenta en su libro Caos lo que sucedió a continuación:

De repente comprendió la verdad. No había habido un mal funcionamiento. El problema residía en los números que había introducido. En la memoria del ordenador se almacenaban seis cifras decimales: 0,506127. En la impresión para ahorrar espacio, sólo aparecían tres: 0,506. Lorenz había introducido los números redondeados suponiendo que la diferencia, del orden de las milésimas, no tendría consecuencias.

A consecuencia de esto, Lorenz ideó su famosa frase "efecto mariposa", para explicar lo sucedido: El movimiento de una simple ala de una mariposa en China, hoy produce un diminuto cambio en el estado de la atmósfera. Después de un cierto período de tiempo, el comportamiento de la atmósfera diverge del que debería haber tenido. Así que, en el período de un mes, un tornado que habría devastado la costa de América no se forma. O quizás uno que no se iba a formar, se produce.

En un sistema dinámico la sensibilidad a las condiciones iniciales las vamos a medir mediante un exponente, llamado de Liapunov que nos determina la tasa de divergencia exponencial de las órbitas adyacentes infinitamente próximas:

Si x_i+1=f(xi) y x_o y x_o+e son dos puntos próximos, después de n iteraciones se tiene . Para determinar el exponente de Liapunov l(x_o) que determina la divergencia, mediante logaritmos se obtiene una aproximación para n iteraciones: . El auténtico valor se obtiene tomando límites cuando n tiende a infinito y e tiende a cero.

7.- Superponer dos series temporales del modelo de May que se diferencien muy poco en sus valores iniciales y encontrar situaciones en que se produzca el "efecto mariposa" y otras en que esto no ocurra. Valorar los resultados de la constante de Liapunov. Un caso de cada tipo serían:

CONSTANTE DEL CAOS

Al estudiar un sistema dinámico de parámetro m se observa que a partir de cierto valor m₁ se duplica el período; que para un nuevo valor m₂ se vuelve a duplicar, y así sucesivamente hasta llegar a un valor m_L donde no existe ninguna periodicidad, sino el caos, que se llama punto de Feigenbaum, diferente para cada sistema dinámico. En el caso de curva de May es 3,5699456...

La sucesión , siendo converge al número 4,6692016091020..., ind ependientemente del sistema dinámico considerado, llamado constante de Feigenbaum o constante del caos c.

Para algunos autores esta constante está llamada a desempeñar un papel tan importante como la que ha tenido el número pi hasta nuestros días.

8.- Obtener una aproximación de la constante del caos para el sistema de la curva logística. Nota: buscar valores de c en los que se vea nítidamente el período 2, 4 y 8.