En 1976 el biólogo Robert May formuló otra ecuación para estudiar el crecimiento de una población de insectos en un ecosistema cerrado, que difería de la de Malthus. May tuvo en cuenta los efectos de saturación del ecosistema, que causan que cuando la población se acerca al máximo posible que el medio ambiente puede sustentar, entonces el parámetro k debe disminuir, lo que equivale a considerar este parámetro función del número de individuos.

Con ello se llega a una ecuación dela forma x_i+1 = k(x_i)·x_i. Podemos tomar como unidad de medida el máximo posible de la población, de manera que x_i expresa la fracción de población existente en el período i con respecto al nivel máximo de población.

May formuló la hipótesis de que k(x_i) debería crecer linealmente cuando x_i creciera, hasta hacerse nulo cuando x_i tomara el valor unidad, es decir, que k(x_i) fuera de la forma c(1-x_i), llegándose así a la ecuación de la parábola logística de May:

Se observa que para valores pequeños de x_i se tiene , con lo que la ecuación resultante es x_i+1 = c·x_i equivalente a la ecuación de Malthus con parámetro c. Este parámetro, indica el índice de vitalidad de la población y varía entre cero y cuatro.

Mediante la simulación en Excel "Parábola de May" vamos a hacer un estudio sistemático de los diferentes comportamientos del sistema en el que pueden producirse situaciones deterministas, periódicas y caóticas.

6.- Teniendo en cuenta que y que , modificando ambas variables:

a) ¿Cuál es el comportamiento para los valores de c comprendidos entre 0 y 1?.

b) Completa la tabla y encontrar la relación entre el valor del atractor y el índice de vitalidad c.

c) ¿Qué ocurre en x_o=3?. ¿Y si 3<x_o<3,5?.

d) Tomando como población inicial 0,5 completar la tabla:

e) Comentar el resultado para otros valores mayores que 3.

El resultado sistemático de las diferentes situaciones que se pueden dar viene recogido en el llamado "diagrama de bifurcación" (en el eje horizontal se representan los diferentes valores de c):

Si hiciéramos un "zoom" en un pequeño intervalo de valores de c dentro de la región del caos observaríamos de nuevo el diagrama en árbol con sus duplicaciones sucesivas y de nuevo el caos; y así sucesivamente. Estas situaciones de "autosimilitud" son características del comportamiento fractal.