Queremos Queremos estudiar la evolución de una población de una determinada especie. Llamamos x_i al número de individuos de la población en el instante temporal i. Si suponemos que por cada individuo existente en el período i habrá, por término medio, k individuos en el período i+1, se tendrá:

Esta es la llamada ecuación de Malthus, propuesta por un economista y pensador del siglo XIX para estimar la evolución de la población humana. Si k>1 , es decir, si existe algún crecimiento vegetativo de la población, los valores de x_k crecen en progresión geométrica y se disparan de forma exponencial, razón por la cual esta ecuación desató una fuerte polémica entre los contemporáneos de Malthus, suponiendo el primer aldabonazo en la conciencia colectiva de la humanidad sobre el problema de la superpoblación del planeta.

En la representación gráfica se incluye junto a la serie temporal, un gráfico de "telaraña" que representa puntos del tipo (x_i, x_i+1), (x_i+1,x_i+1), (x_i+1,x_i+2)...... Estos puntos pertenecen alternativamente a la función y=f(x) y a la recta y=x.

2.- Utilizando la simulación en Excel "Modelo de Malthus" se pide:

a) Encontrar la expresión del término general de la progresión geométrica que lo caracteriza (tomar como valor de prueba k=2).

b) ¿Qué relación hay entre k y la tasa de crecimiento por intervalo de tiempo?.

3.- Estudiar y comentar el modelo para diferentes valores de k (incluso para k<0, aunque este caso sea una interpretación puramente matemática).

Una modificación de la ecuación de Malthus, sería incluir un factor b (de inmigración o emigración constante). La ecuación quedaría: x_i+1 = k x_i+b

4.- a) Una población inicial 100 tiene una tasa de crecimiento del 0,8 y por tanto se extinguiría. Si cada año existe una inmigración constante de 70 individuos. ¿Qué ocurre?.

b) Si la población decrece un 30% anual, ¿Cuál ha de ser la inmigración anual para conseguir doblar la población?. ¿Al cabo de cuánto tiempo se consigue?.

5.- a) Comprobar que cuando k=1, se obtiene una progresión aritmética y encontrar la fórmula del término general.

b) Encontrar las fórmula general de la ecuación de Malthus modificada.