No queremos terminar el itinerario emprendido en este trabajo, sin entresacar de sus escritos o investigaciones, algún pasaje matemático que muestre su forma de pensar y llevar a cabo sus ideas, porque aunque es cierto que esto exigirá para su total entendimiento una cierta preparación matemática, no lo es menos que los lectores que eviten el seguimiento razonado de las fórmulas, que aparecen en este apéndice, podrán captar la finalidad de las mismas.

Pensamos que sus trabajos "Sobre la Figura de la Tierra", los primeros que se publicaron en nuestro país utilizando el cálculo infinitesimal, contenidos en los libros VII y VIII de su obra "Observaciones Astronómicas", pueden ser una buena muestra de su quehacer científico. Comentaremos el significado, utilidad y alcance del aparato matemático que maneja en los mismos y lo acompañaremos en todos sus cálculos y desarrollos.

En el capítulo VI del libro VII resuelve el problema de hallar la razón entre el eje Polo Norte-Polo Sur y el diámetro del Ecuador, que será el punto de partida para averiguar la forma de la Tierra. Lo enuncia de la siguiente forma:

PROBLEMA

"Dados dos grados, o minutos de la periferia de una elipse, hallar la razón de sus Diámetros"

En la Fig.1, la misma que utilizó Jorge Juan en su trabajo, H e I son dos puntos o lugares de la Tierra donde se ha medido un minuto o grado de meridiano, DE=R es el radio del Ecuador. La unidad de longitud que eligió fue el propio semieje BD por lo que BD=1, HF= y0 es la ordenada o seno de latitud del punto H, IG= y1 la ordenada o seno de latitud del punto I y EG=x la abscisa de G.

Por todo esto la elipse tiene como centro el punto D(R,0), y las longitudes de sus semiejes son R y 1. Su ecuación será:

Jorge Juan la expresó como sigue:

Para demostrar la fórmula (2), que veremos más adelante, como hizo Jorge Juan, podríamos pensar, por ejemplo, de la siguiente forma: como cualquier pareja de ángulos centrales iguales de una circunferencia interceptan, sobre la misma, arcos de la misma longitud y esta propiedad no se verifica en la elipse interesa, de ser posible, sustituir los arcos UT y PO de la elipse, de la Fig.2, correspondientes a un minuto o grado de meridiano de longitudes m y puntos medios H e I, de la Fig. 1, respectivamente, por arcos de circunferencias que se adapten lo más posible a la elipse en dichos puntos. Como este ajuste será tanto mejor cuanto más pequeños sean los arcos UT y PO, Jorge Juan los tomó de un minuto de meridiano desde el mismo enunciado del problema, aunque siga nombrando los grados.

Así pues, la primera cuestión por resolver, es la de encontrar en el entorno de cualquier punto de la elipse una circunferencia que se adapte "lo que más pueda ser" a la misma, o sea, la de hallar las coordenadas del centro y el radio de dicha circunferencia. Como son tres las incógnitas a calcular impondremos la condición de que el contacto elipse-circunferencia en dicho punto sea, al menos, de segundo orden. Lo que nos permitirá encontrar un sistema de tres ecuaciones con dichas tres incógnitas, igualando los valores de las funciones que definen la elipse y la circunferencia, así como sus primeras y segundas derivadas en dicho punto.

El centro y el radio de esta circunferencia, conocida como circulo osculador y que coincide con el círculo de curvatura, son el centro y el radio de curvatura de la elipse en dicho punto. Cada uno de estos centros de curvatura se encuentra sobre su normal correspondiente y todos ellos describen la curva KLN, de la Fig.2, llamada evoluta de la elipse que, por otro lado, es la envolvente de dichas normales.

Como en la Fig.2 el ángulo formado por XU,XT y el de lados YP,YO son iguales, por ser ambos de un minuto, tendremos que las longitudes de los arcos que los mismos interceptan sobre sus respectivos círculos de curvatura serán proporcionales a los radios de curvatura de los mismos, y como los contactos entre estos arcos de circunferencias y los arcos UT=m y PO=m de la elipse son al menos de segundo orden, pueden sustituirse unos arcos por otros, llegando de esta forma con Jorge Juan a que "las longitudes de los minutos m y son proporcionales respectivamente a los radios de curvatura r_h y r_i n H e I (puntos medios de UT y PO respectivamente)", o sea:

La fórmula del radio r de curvatura a utilizar, en un punto de una línea plana, depende de la forma en que venga dada la ecuación analítica de la misma. Por ejemplo las tres siguientes:

corresponden respectivamente a las formas explícita: y=f(x), paramétrica: x=x(t), y=y(t) y polar: r=r(q) de una curva. Jorge Juan la aplicó con diferenciales, o sea:

Por lo que para hallarlo, a partir de la ecuación (1) de la elipse, tuvo que encontrar todos los valores que aparecen en esta fórmula (3), para lo cual empezó diferenciando la (1) y obtuvo:

de donde:

como le interesaba que esta diferencial viniera sólo en función de y , despejó la x de la (1):

y la sustituyó en la (4), encontrando:

consideró que dx fuera constante, por lo que la diferencial segunda sería nula:

teniendo esto en cuenta al diferenciar, esta vez en (5), sacó:

después dividió ambos miembros por:

y obtuvo:

por otro lado y apoyándose en (5) encontró:

y sustituyendo en (3) los resultados obtenidos en (5), (6) y (7) calculó el radio r de curvatura de la elipse en un punto de ordenada y:

A partir de esta expresión de r y sin más que sustituir en ella y por y₀ y después por y₁ encontró los valores r_h y r_i , que necesitaba, para poder aplicar (2) quedando ésta en la siguiente forma:

de donde despejó R:

concluyendo el problema que se había planteado de "dados dos grados o minutos de meridiano, m y , hallar la razón R entre el eje de la Tierra y el diámetro 2R del Ecuador", ya que pudo escribir:

La fórmula (8) le permitía calcular el radio R del ecuador, expresado en semiejes de la Tierra por ser éste la unidad de longitud elegida, siempre que conociera de antemano los valores m y de dos grados de meridiano, en dos puntos cualesquiera H e I del mismo meridiano, y sus respectivas ordenadas o senos de latitud y₀ e y₁.

Para calcular prácticamente los valores de R y R aplicamos estas fórmulas (8) y (9), en el caso concreto de que H esté en el Polo e I en el Ecuador, entonces:

según los resultados de las expediciones al Ecuador y Laponia, que sustituidos en (8), nos da:

por lo que el exceso d del radio del Ecuador respecto al semieje de la Tierra es d=0'0039193. Y como la razón R entre el eje y el diámetro del Ecuador, según la fórmula (9), es la inversa de R tendremos que: