Muhammad ben Musa (Al-khuwarizmi) originario de Jiva al sur del
mar Aral, fue una figura destacada de la matemática árabe, siendo además geógrafo
y astrónomo. Fue bibliotecario del califa Al-Mamun que reinó entre 813 y 833. Su
obra ha ejercido una gran influencia no sólo en la ciencia del islam sino también
en la ciencia cristiana occidental. De la deformación de su nombre surgió más
tarde el término "algoritmo" con la acepción técnica actual..
La Aritmética de Al-Khuwarizmi contribuyó a la difusión en el mundo árabe de las cifras hindúes y del uso del cero. Pero sin duda el libro más importante, que dio nombre a una rama de las matemáticas, el Álgebra, fue Hisab al-jabar wa-al-muqabala:
Según nuestra notación la ecuación 2x2 + 100 - 20x = 58. Luego se transformaría por al-jabr en la ecuación 2x2 + 42 = 20x, y fianlmente por al-muqabala en la ecuación x2 + 21 = 10x.
No conoce el método general de la resolución de las ecuaciones de primero y segundo grado, lo que le obliga a reducirlas a uno de los casos canónicos siguientes:
I. ax2 = bx |
II. ax2 = c |
III. bx = c |
IV. ax2 +bx = c |
V. ax2 + c = bx |
VI. bx +c = ax2 |
El Álgebra de Al-Khuwarizmi es retórica, llamando cuadrados (x2), raíces (x) o números (a, b, c) a los elementos de las ecuaciones.
Veamos la resolución "retórica" de la ecuación: x2 +10x =39 que pertenece al tipo (IV) después
de haberle aplicado al-muqabala:
"Debes tomar la mitad del número de las raíces (5), y multiplicarlo por sí mismo (25) al que le sumas el número 39, obteniendo 64. Toma la raíz cuadrada de ese número (8) y le restas la mitad de las raíces (5), y obtienes 3 que es el valor buscado".
Junto a la resolución siempre se acompañaba una comprobación geométrica. Vamos a exponer la resolución geométrica de la ecuación anterior en el caso general: x2 + px = q:
Se construye un cuadrado de lado x. Luego sobre cada lado del mismo un rectángulo de altura p/4.
El área de esa región es x2 + px y por tanto igual a q de acuerdo con la ecuación propuesta.
Si se añaden los cuadrados de las esquinas se tiene x2 +px +p2/4 = (x + p/2)2 = q + p2/4 que valdrá el área del cuadrado completo. Y por tanto el lado de ese cuadrado será x+p/2 = raíz(q + p2/4). Finalmente se obtendrá x = -p/2 + raíz (q + p2/4).